Аналіз I, Розділ 6.6: Підпослідовності

Я (прим. перекл. Терренс Тао) намагався зробити переклад якомога точнішим перефразуванням оригінального тексту. Коли є вибір між більш ідіоматичним підходом Lean та більш точним перекладом, я зазвичай обирав останній. Зокрема, будуть місця, де код Lean можна було б "підправити", щоб зробити його більш елегантним та ідіоматичним, але я свідомо уникав цього вибору.

Основні конструкції та результати цього розділу:

• Визначення підпослідовності.

@[reducible, inline]

abbrev Chapter6.Sequence.subseq (a b : ℕ → ℝ) : Prop

Визначення 6.6.1

Equations

• Chapter6.Sequence.subseq a b = ∃ (f : ℕ → ℕ), StrictMono f ∧ ∀ (n : ℕ), b n = a (f n)

theorem Chapter6.Sequence.subseq_self (a : ℕ → ℝ) : subseq a a

Лема 6.6.4 / Вправа 6.6.1

theorem Chapter6.Sequence.subseq_trans {a b c : ℕ → ℝ} (hab : subseq a b) (hbc : subseq b c) : subseq a c

Лема 6.6.4 / Вправа 6.6.1

theorem Chapter6.Sequence.convergent_iff_subseq (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : (↑a).TendsTo L ↔ ∀ (b : ℕ → ℝ), subseq a b → (↑b).TendsTo L

Твердження 6.6.5 / Вправа 6.6.4

theorem Chapter6.Sequence.limit_point_iff_subseq (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : (↑a).LimitPoint L ↔ ∃ (b : ℕ → ℝ), subseq a b ∧ (↑b).TendsTo L

Твердження 6.6.6 / Вправа 6.6.5

theorem Chapter6.Sequence.convergent_of_subseq_of_bounded {a : ℕ → ℝ} (ha : (↑a).IsBounded) : ∃ (b : ℕ → ℝ), subseq a b ∧ (↑b).Convergent

Теорема 6.6.8 (Теорема Болцано-Вейерштрасса)

def Chapter6.Sequence.exist_subseq_of_subseq : Decidable (∃ (a : ℕ → ℝ) (b : ℕ → ℝ), a ≠ b ∧ subseq a b ∧ subseq b a)

Equations

• Chapter6.Sequence.exist_subseq_of_subseq = sorry

theorem Chapter6.Sequence.subseq_of_unbounded {a : ℕ → ℝ} (ha : ¬(↑a).IsBounded) : ∃ (b : ℕ → ℝ), subseq a b ∧ (↑b)⁻¹.TendsTo 0

Вправа 6.6.3. Може стати в пригоді API Nat.find з Mathlib (та open Classical, щоб уникнути проблем з вирішуваністю).